【基礎から学ぶ微分】微分の定義と実際の解き方

数学は社会に出るとあまり役に立たないみたいなことを言っている人が偶にいますが、電気系の分野に進むとそうでもないです。
忘れたころに中学・高校で習った内容を思い返す必要がある…ということは微妙にあります。
本記事ではそんな内容の一つである“微分”について、基本からわかりやすくまとめてみました。

今回は、「微分の定義と実際の解き方」についての説明です。

１．微分の定義とlimitの意味
２．微分して得られた関数を表現する記号
３．導関数と微分係数の違い
４．微分を表現する記号
５．高校数学における微分の計算方法

１．微分の定義とlimitの意味

微分は正式には以下のように定義されています。

式1

xに関する関数のことをf(x)と表示する為、f(x+h)も関数です。
平たく言えば、2xやx²+1のようなxを含む数式がf(x)ということです。

それに対し、f(x+h)はf(x)の”x”に”x+h”を代入したものとなります。
f(x)=2xだったとすると、f(x+h)=2(x+h)になる…といった感じです。
そして、f(x)を微分した結果をf'(x)のように表示します。

定義のlimというのは前回のそもそも微分とは何なのかを説明した記事でもしれっと出てきました。
一応説明をすると、“lim”とは“limit”のことです。
[limit]は[限界]という意味です。

では何が限界なのかと言うと、limの下に書かれている条件を限界まで実行してほしいのです。
つまり、定義式の場合は「次に続く関数の内、変数hを限りなく“0”に近づけてください」という意味になります。
なので、f(x+h)とf(x)という関数に含まれるh及び分母のhに“0”を代入するとf'(x)が求まることになります。
まあ、微分=傾きという関係性さえ理解できているならこの定義式の形は覚える必要ないですけどね。

ちなみに、xに関する関数はyで表してあることもある為、f(x)=2xという式があった場合はf(x)=y=2xだと思ってもらって問題ないです。

２．微分して得られた関数を表現する記号

定義の説明でちょこっと出ていますが、微分して得られた関数を表す記号があります。
f'(x)というヤツです。
この「'(シングルクォーテーション)」が付いていると微分されたことを意味しています。
なので、y’なども微分を表しているわけですね。

読み方は「y'(ワイダッシュ)」のように「ダッシュ」と読むのが一般的です。
「プライム」とも呼ぶようですが、個人的にそう呼んだことは無いです。

この微分して得られる関数のことを導関数と呼びます。

なので、『導関数を求めよ』という問題があったとすると、『微分せよ』と同じ意味合いを持つということになります。

３．導関数と微分係数の違い

導関数と似た用語に微分係数というものがあります。
意味は確かに似ているのですが、指してる範囲が全く違うので説明していきますね。

導関数は、f(x)という関数のあらゆる点における傾き(微分結果)を得ることができる関数のことです。
以下のような二次関数があったとして、点Aでも点Bでも点Cでも…どこの点での傾きも得られる数式が導関数なのです。

傾きを求めたい点のx軸座標を代入すれば、傾きを求めることが可能です。

それに対して、ある特定の一点における傾きを指しているのが微分係数です。
点Aか点Bか点Cか…どれか一点の傾きのことを指しているんですね。
つまり、導関数の中に微分係数が含まれているのです。

よく混同されている方がいるので注意しましょう。
まあ、関数と係数の違いを理解していればイメージはできるんですけどね。

４．微分を表現する記号

f(x)を微分すればf'(x)になるのはわかったと思います。
次は微分自体を表現する記号についてです。

微分を表現する記号はd/dxと書きます。
読み方は普通に「ディーディーエックス」と読みます。
高校数学ではdy/dx(ディーワイディーエックス)という形で見たことがあるのではないでしょうか？
あれは、「yという関数のxについて微分してください」という意味です。
あくまで微分を表すのはd/dxの部分です。

仮にdy/dtとなっていた場合、「yという関数のtについて微分してください」という意味になります。
分母の文字によって微分する対象が変化することに注意しましょう。
詳しくは例を用いて次項から説明します。

ちなみに、dは微分を意味する[differential]のdです。